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  3. (2004年)设A，B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有

(2004年)设A，B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有

admin2018-07-30  39
问题 (2004年)设A，B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有
选项 A、A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关．
B、A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关．
C、A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关．
D、A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关．
答案A
解析 设A按列分块为A=[α1，α2，…，αn]，由B≠0知B至少有一列非零，设B的第j列b1j，b2j，…，bnj)T≠0，则AB的第j列为
[α1，α2，…，αn]=0，
即b1jα1+b2jα2+…+bnjαn=0，
因为常数b1j，b2j，…，bnj不全为零，故由上式知A的列向量组线性相关．再由AB=O取转置得BTAT=O，利用已证的结果可知BT的列向量组——即B的行向量组线性相关，故(A)正确．
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考研数学二

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