设α1,α2,β1,β2为三维列向量组,且α1,α2与β1,β2都线性无关. (1)证明:至少存在一个非零向量可同时由α1,α2和β1,β2线性表示; (2)设,求出可由两组向量同时线性表示的向量.

admin2018-01-23  34

问题 设α1,α2,β1,β2为三维列向量组,且α1,α2与β1,β2都线性无关.
(1)证明:至少存在一个非零向量可同时由α1,α2和β1,β2线性表示;
(2)设,求出可由两组向量同时线性表示的向量.

选项

答案(1)因为α1,α2,β1,β2线性相关,所以存在不全为零的常数k1,k2,l1,l2,使得 k1α1+k2α1+l1β1+l2β1=0,或 k1α1+k2α2=-l1β1-l2β2. 令γ=k1α1+k2α2=-l1β1-l2β2,因为α1,α2与β1,β2都线性无关,所以k1,k2及l1,l2都 不全为零,所以γ≠0. (2)令k1α1+k2α1+l1β1+l2β2=0, [*] 所以γ=kα1-3kα2=-kβ1+0β2

解析
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