2. 考研
  3. 设φ(x)在[a，b]上连续，且φ(x)＞0，则函数y=∫ab|x一t|φ(t)dt的图形在(a，b)内( )

设φ(x)在[a，b]上连续，且φ(x)＞0，则函数y=∫ab|x一t|φ(t)dt的图形在(a，b)内( )

admin2019-07-12  31
问题 设φ(x)在[a，b]上连续，且φ(x)＞0，则函数y=∫ab|x一t|φ(t)dt的图形在(a，b)内(    )
选项 A、为凸
B、为凹
C、有拐点
D、有间断点
答案B
解析 令y=ψ(x)，先将ψ(x)利用|x—t|的分段性分解变形，有
  ψ(x)=∫ax(x—t)φ(t)dt+∫xb(t一x)φ(t)dt=x∫axφ(t)dt—∫axtφ(t)dt+∫xbtφ(t)dt—x∫xbφ(t)dt．
    因为φ(t)在[a，b]上连续，所以ψ(x)可导，因而答案不可能是(D)．要讨论其余三个选项，只需求出ψ"(x)，讨论ψ"(x)在(a，b)内的符号即可．因
    ψ’(x)=∫axφ(t)dt—∫xbφ(t)dt，ψ"(x)=2φ(x)＞0，x∈[a，b]，故y=ψ(x)在(a，b)内的图形为凹．应选(B)．
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考研数学三

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