2. 考研
  3. [2002年] 已知四阶方阵A=[α1，α2，α3，α4]，α1，α2，α3，α4均为四维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，α1=2α2一α3．如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组AX=β的通解．

[2002年] 已知四阶方阵A=[α1，α2，α3，α4]，α1，α2，α3，α4均为四维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，α1=2α2一α3．如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组AX=β的通解．

admin2021-01-15  11
问题 [2002年]  已知四阶方阵A=[α1，α2，α3，α4]，α1，α2，α3，α4均为四维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，α1=2α2一α3．如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组AX=β的通解．
选项
答案因α2，α3，α4线性无关及α1=2α2一α3=2α2一α3+0α4，故秩(α1，α2，α3，α4)=秩（A）=3．于是AX=0的一个基础解系只包含一个解向量，将AX=0及AX=β分别写成列向量组的形式分别为 x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=0， ① x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=β． ② 今已知 α1—2α2+α3=α1—2α2+α3+0α4=0， ③ 将式③与式①比较知，齐次方程组①的一个解向量为α=[1，一2，1，0]T． 又将α1+α2+α3+α4=β与方程组②比较知，方程组②的一个特解为η=[1，1，1，1]T，故AX=β的通解为 kα+η=k[1，一2，1，0]T+[1，1，1，1，1]T (k为任意常数)．
解析
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考研数学一

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