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设二次型 f=x21+x22+x23+2αx1x2+2βx2x3+2x1x3 经正交变换x=Py化成f=y22+2y23，其中x=(x1，x2，x3)T和y=(y1，y2，y3)T都是3维列向量，P是3阶正交矩阵．试求常数α，β．
设二次型 f=x21+x22+x23+2αx1x2+2βx2x3+2x1x3 经正交变换x=Py化成f=y22+2y23，其中x=(x1，x2，x3)T和y=(y1，y2，y3)T都是3维列向量，P是3阶正交矩阵．试求常数α，β．
admin
2021-02-25
69
问题
设二次型
f=x
2
1
+x
2
2
+x
2
3
+2αx
1
x
2
+2βx
2
x
3
+2x
1
x
3
经正交变换x=Py化成f=y
2
2
+2y
2
3
，其中x=(x
1
，x
2
，x
3
)
T
和y=(y
1
，y
2
，y
3
)
T
都是3维列向量，P是3阶正交矩阵．试求常数α，β．
选项
答案
二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)的矩阵为 [*] 因为P为正交矩阵，所以 [*] 即A与B相似，故A与B有相同的特征值λ
1
=0，λ
2
=1，λ
3
=2，这些特征值满足｜λE—A｜=0． 当λ
1
=0，则 [*] 当λ
2
=1，则 [*] 由式(1)和(2)，可求得α=β=0． 注：本题可用特征值的性质和特征方程求得α，β如用｜A｜=0×1×2=0．｜E-A｜=0．
解析
本题主要考查二次型在正交变换下的不变量．令二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)的矩阵为A，由标准形为f=y
2
2
+
2y
2
3
，知A的特征值为0，1，2，代入A的特征方程，求得α，β．
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/HuARFFFM
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考研数学二
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