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  3. 设n阶矩阵 求A的特征值和特征向量；

设n阶矩阵 求A的特征值和特征向量；

admin2019-07-16  37
问题 设n阶矩阵

求A的特征值和特征向量；
选项
答案1°当b≠0时，A的特征多项式为 [*] =[λ－1(n－1)b](λ－(1－b)n－1， 故A的特征值为λ1=1+(n－1)b，λ2=…=λn=1－b． 对于λ1=1+(n－1)b，设对应的一个特征向量为ξ1，则 [*] =[1+(n－1)b]ξ1， 解得ξ1=(1，1，…，)T。所以，属于λ1的全部特征向量为 kξ1=k(1，1，…，1)T，其中k为任意非零常数． 对于λ2=…=λn=1－b，解齐次线性方程组[(1－b)E－A]x=0，由 [*] 解得基础解系为ξ2=(1，－1，0，…，0)T，ξ3=(1，0，－1，…，0)T，…，ξn=(1，0，0，…，－1)T．故属于λ2=…=λn的全部特征向量为 k2ξ2+k3ξ3+…+knξn，其中k2，k3，…，kn为不全为零的任意常数． 2°当b=0时，A=E，A的特征值为λ1=λ2=…=λn=1，任意n维非零列向量均是A的特征向量．
解析
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考研数学三

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