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设f(x)在[a,b]上连续,且对任意的t∈[0,1]及任意的x1,x2∈[a,b]满足:f[tx1+(1-t)x2]≤tf(x1)+(1-t)f(x2). 证明:f()≤f(x)dx≤
设f(x)在[a,b]上连续,且对任意的t∈[0,1]及任意的x1,x2∈[a,b]满足:f[tx1+(1-t)x2]≤tf(x1)+(1-t)f(x2). 证明:f()≤f(x)dx≤
admin
2019-11-25
13
问题
设f(x)在[a,b]上连续,且对任意的t∈[0,1]及任意的x
1
,x
2
∈[a,b]满足:f[tx
1
+(1-t)x
2
]≤tf(x
1
)+(1-t)f(x
2
).
证明:f(
)≤
f(x)dx≤
选项
答案
因为[*]f(x)dx[*](b-a)[*]f[at+(1-t)b]dt ≤(b-a)[f(a)[*]tdt+f(b)[*](1-t)dt]=(b-a)[*] 所以[*]f(x)dx≤[*]. 又[*]f(x)dx=[*]f(x)dx+[*]f(x)dx=[*][f(a+b-x)+f(x)]dx =2[*][[*]f(a+b-x)+[*]f(x))dx ≥2[*]f[[*](a+b-x)+[*]x]dx=(b-a)f[*], 所以[*]f(x)dx≥f[*]),故f([*])≤[*]f(x)dx≤[*].
解析
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考研数学三
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