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  3. 已知η是Ax=b的一个特解，ξ1，ξ2，…，ξn－r是对应齐次方程组Ax=0的基础解系，证明： η，η+ξ1，η+ξ2，…，η+ξn－r是Ax=b的n一r+1个线性无关解；

已知η是Ax=b的一个特解，ξ1，ξ2，…，ξn－r是对应齐次方程组Ax=0的基础解系，证明： η，η+ξ1，η+ξ2，…，η+ξn－r是Ax=b的n一r+1个线性无关解；

admin2014-04-16  45
问题 已知η是Ax=b的一个特解，ξ1，ξ2，…，ξn－r是对应齐次方程组Ax=0的基础解系，证明：
η，η+ξ1，η+ξ2，…，η+ξn－r是Ax=b的n一r+1个线性无关解；
选项
答案[*] A(η+ξi)=Aη=b，i=0，1，2，…，n一r，(其中ξ0=0)，故η+ξi，i=0，1，2，…，n一r均是Ax=b的解向量．设有数k0，k1，k2，…，kn-r，使得k0η+k1(η+ξ1)+k2(η+ξ2)+…+kn-r(η+ξn-r)=0，(*)(*)式左乘A，得k0Aη，+k1A(η+ξ1)+k2A(η+ξ2)+…+kn-rA(η+ξn-r)=0，整理得(k0+k1+…+kn-r)b=0，其中b≠0．故k0+k1+…+kn-r=0，(**)代入(*)式，得k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r=0．因ξ1，ξ2，…，ξn-r导一是对应齐次方程组的基础解系，线性无关，得ki=0，i=1，2，…，n－r代入(**)式，得k0=0，从而有η，η+ξ1，η+ξ2，…，η+ξn-r是Ax=b的n一r+1个线性无关解向量．
解析
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考研数学二

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