已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1:ax+2by+3c=0, l2:bx+2cy+3a=0, l3:cx+2ay+3b=0, 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0。

admin2018-12-29  35

问题 已知平面上三条不同直线的方程分别为
l1:ax+2by+3c=0,
l2:bx+2cy+3a=0,
l3:cx+2ay+3b=0,
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0。

选项

答案先证必要性。设三条直线l1,l2,l3交于一点,则其线性方程组 [*] 有唯一解,故系数矩阵A=[*]与增广矩阵[*]的秩均为2,于是[*]=0。 因为 [*] =6(a+b+c)(a2+b2+c2—ab—ac—bc) =3(a+b+c)[(a—b)2+(b—c)2+(c—a)2], 但根据题设可知(a—b)2+(b—c)2+(c—a)2≠0,故a+b+c=0。 再证充分性。由a+b+c=0,则从必要性的证明中可知,[*]。由于 [*]=2(ac—b2)=[*]≠0, 故r(A)=2。于是r(A)=[*]=2。 因此方程组(1)有唯一解,即三条直线l1,l2,l3交于一点。

解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/HI1RFFFM
0

最新回复(0)