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已知函数y=(x+1)ex是一阶线性微分方程y’+2y=f(x)的解,求二阶常系数线性微分方程y"+3y’+2y=f(x)的通解.
已知函数y=(x+1)ex是一阶线性微分方程y’+2y=f(x)的解,求二阶常系数线性微分方程y"+3y’+2y=f(x)的通解.
admin
2012-01-13
48
问题
已知函数y=(x+1)e
x
是一阶线性微分方程y’+2y=f(x)的解,求二阶常系数线性微分方程y"+3y’+2y=f(x)的通解.
选项
答案
y=C
1
e
-x
+C
2
e
-2x
+[*],
解析
根据题意得y’=e
x
+(x+1)e
x
=(x+2)e
x
f(x)=y’+2y=(x+2)e
x
+2.(x+1)e
x
=(3x+4)e
x
,则y"+3y’+2y=(3x+4)e
x
.
求上式特征方程r
2
+3r+2=0,得r
1
=-1,r
2
=-2,所以,y"+3y’+2y=(3x+4)e
x
的通解为y=C
1
e
-x
+C
2
e
-2x
,因为λ=1不是特征根,所以原方程的一个特解为y=(Ax+B)e
x
,即y’=(Ax+A+B)e
x
y"=(Ax+2A+B)e
x
,上述=式代入y"+3y’+2y=(3x+4)e
x
得(Ax+2A+B)e
x
+3(Ax+A+B)e
x
+2(Ax+B)e
x
=(3x+4)e
x
,化解为 6Ax+5A+6B=3x+4.解得
.
所以所求方程通解为y=C
1
e
-x
十C
2
e
-2x
+
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