设函数f(x)在[2，+∞)上可导且f(2)=1，如果f(x)的反函数g(x)满足=x2f(x)+x，则f(4)=_____．

admin2017-05-18 27

问题设函数f(x)在[2，+∞)上可导且f(2)=1，如果f(x)的反函数g(x)满足

=x²f(x)+x，则f(4)=_____．

选项

答案[*]

解析当x≥2时，将已知方程两边对x求导得
g[f(x)]f’(x)=2xf(x)+x²f’(x)+1，
因为g(x)是f(x)的反函数，所以g[f(x)]=x，于是，上式可写成
xf’(x)=2xf(x)+x²f’(x)+1，
即 (x²-x)f’(x)+2xf(x)=-1，

这是一个一阶线性微分方程，利用一阶线性微分方程的通解公式，有

由f(2)=1，得C=3-ln2，所以

于是

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考研数学一

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