设y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为，又此曲线上的点(0，1)处的切线方程为y=x+1，求该曲线方程，并求函数y(x)的极值．

admin2018-05-22 39

问题设y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为

，又此曲线上的点(0，1)处的切线方程为y=x+1，求该曲线方程，并求函数y(x)的极值．

选项

答案因为曲线是上凸的，所以y’’＜0，由题设得 [*] 令y’=p，y’’=[*]=-(1+p²)[*]arctanp=C₁-x．因为曲线y=y(x)在点(0，1)处的切线方程为y=x+1，所以p｜_x=0=1，从而 y’=tan([*]-x)，积分得y=[*]+C₂．因为曲线过点(0，1)，所以C₂=1+[*] 所求曲线为 [*] 因为[*]≤1，所以当x=[*]时函数取得极大值1+[*].

解析

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考研数学二

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