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  3. 设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝aχ12＋aχ22＋(a－1)χ32＋2χ1χ3－2χ2χ3． (1)求二次型f的矩阵的所有特征值； (2)若二次型厂的规范形为y12＋y22，求a的值．

设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝aχ12＋aχ22＋(a－1)χ32＋2χ1χ3－2χ2χ3． (1)求二次型f的矩阵的所有特征值； (2)若二次型厂的规范形为y12＋y22，求a的值．

admin2016-05-09  53
问题 设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝aχ12＋aχ22＋(a－1)χ32＋2χ1χ3－2χ2χ3．
    (1)求二次型f的矩阵的所有特征值；
    (2)若二次型厂的规范形为y12＋y22，求a的值．
选项
答案(1)二次型的矩阵为A＝[*]，则有 ｜λE－A｜＝[*] ＝(λ－a)[*] ＝(λ－a)[(λ－a＋1)(λ－a＋1)－1]－[0＋(λ－a)] ＝(λ－a)[(λ－a＋1)(λ－a＋1)－2] ＝(λ－a)[λ2－2aλ＋λ＋a2－a－2] ＝(λ－a)(λ－a＋2)(λ－a－1)， 所以所有特征值是λ1＝a，λ2＝a－2，λ3＝a＋1． (2)若规范形为y12＋y22，说明有两个特征值为正，一个为0．则由于a－2＜a＜a＋1，所以a－2＝0，即a＝2．
解析
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考研数学一

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