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设φ(x)是以2π为周期的连续函数,且Ф’(x)=φ(x),Ф(0)=0. (1)求方程y’+ysin x=φ(x)ecosx的通解; (2)方程是否有以2π为周期的解?若有,请写出所需条件,若没有,请说明理由.
设φ(x)是以2π为周期的连续函数,且Ф’(x)=φ(x),Ф(0)=0. (1)求方程y’+ysin x=φ(x)ecosx的通解; (2)方程是否有以2π为周期的解?若有,请写出所需条件,若没有,请说明理由.
admin
2023-01-06
30
问题
设φ(x)是以2π为周期的连续函数,且Ф’(x)=φ(x),Ф(0)=0.
(1)求方程y’+ysin x=φ(x)e
cosx
的通解;
(2)方程是否有以2π为周期的解?若有,请写出所需条件,若没有,请说明理由.
选项
答案
(1)该方程为一阶线性微分方程,通解为 y=e
一∫sin xdx
[∫φ(x)e
cos x
se
∫sin xdx
dx+C] =e
cos x
[∫φ(x)e
cos x
.e
一cos x
dx+C] =e
cos x
[∫φ(x)dx+C]=e
cos x
[Ф(x)+C](其中C为任意常数). (2)因为Ф’(x)=φ(x),所以Ф(x)=∫
0
x
φ(t)dt+C1, 又Ф(0)=0,于是Ф(x)=∫
0
x
φ(t)dt 而Ф(x+2π)=∫
0
x+2π
φ(t)dt=∫
0
x
φ(t)dt+∫
x
x+2π
φ(t)dt=Ф(x)+∫
0
2π
φ(t)dt,所以,当∫
0
2π
φ(t)dt=0时,Ф(x+2π)=Ф(x),即Ф(x)以2π为周期. 因此,当∫
0
2π
φ(t)dt=0时,方程有以2π为周期的解.
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/H22iFFFM
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考研数学二
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