设四元齐次线性方程组(1)为 而已知另一四元齐次线性方程组(2)的一个基础解系为 α1=(2,-1,a+2,1)T,α2=(-1,2,4,a+8)T。 (Ⅰ)求方程组(1)的一个基础解系; (Ⅱ)当a为何值时,方程组(1)与(2)

admin2019-02-26  54

问题 设四元齐次线性方程组(1)为

而已知另一四元齐次线性方程组(2)的一个基础解系为
    α1=(2,-1,a+2,1)T,α2=(-1,2,4,a+8)T
    (Ⅰ)求方程组(1)的一个基础解系;
    (Ⅱ)当a为何值时,方程组(1)与(2)有非零公共解?并求出所有非零公共解。

选项

答案(Ⅰ)对方程组(1)的系数矩阵作初等行变换,有 [*] 则n-r(A)=4-2=2,基础解系由两个线性无关的解向量构成。取x3,x4为自由变量,得 β1=(5,-3,1,0)T,β2=(-3,2,0,1)T 是方程组(1)的基础解系。 (Ⅱ)设η是方程组(1)与(2)的非零公共解,则 η=k1β1+k2β2=l1α1+l2α2,其中k1,k2与l1,l2均是不全为0的常数。 由k1β1+k2β2-l1α1-l2α2=0,得齐次方程组 [*] 对方程组(3)的系数矩阵作初等行变换,有 [*] 当a≠-1时,方程组(3)的系数矩阵变为[*]。可知方程组(3)只有零 解,即k1=k2=l1=l2=0,于是η=0,不合题意。 当a=-1时,方程组(3)系数矩阵变为[*],解得k1=l1+4l2,k2=l1+7l2。 于是η=(l1+4l21+(l1+7l22=l1α1+l2α2。 所以当a=-1时,方程组(1)与(2)有非零公共解,且公共解是 l1(2,-1,1,1)T+l2(-1,2,4,7)T,l1,l2为任意常数。

解析
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