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  3. 设四元齐次线性方程组(1)为 而已知另一四元齐次线性方程组(2)的一个基础解系为 α1=(2，-1，a+2，1)T，α2=(-1，2，4，a+8)T。 (Ⅰ)求方程组(1)的一个基础解系； (Ⅱ)当a为何值时，方程组(1)与(2)

设四元齐次线性方程组(1)为 而已知另一四元齐次线性方程组(2)的一个基础解系为 α1=(2，-1，a+2，1)T，α2=(-1，2，4，a+8)T。 (Ⅰ)求方程组(1)的一个基础解系； (Ⅱ)当a为何值时，方程组(1)与(2)

admin2019-02-26  54
问题 设四元齐次线性方程组(1)为

而已知另一四元齐次线性方程组(2)的一个基础解系为
    α1=(2，-1，a+2，1)T，α2=(-1，2，4，a+8)T。
    (Ⅰ)求方程组(1)的一个基础解系；
    (Ⅱ)当a为何值时，方程组(1)与(2)有非零公共解?并求出所有非零公共解。
选项
答案(Ⅰ)对方程组(1)的系数矩阵作初等行变换，有 [*] 则n-r(A)=4-2=2，基础解系由两个线性无关的解向量构成。取x3，x4为自由变量，得 β1=(5，-3，1，0)T，β2=(-3，2，0，1)T 是方程组(1)的基础解系。 (Ⅱ)设η是方程组(1)与(2)的非零公共解，则 η=k1β1+k2β2=l1α1+l2α2，其中k1，k2与l1，l2均是不全为0的常数。 由k1β1+k2β2-l1α1-l2α2=0，得齐次方程组 [*] 对方程组(3)的系数矩阵作初等行变换，有 [*] 当a≠-1时，方程组(3)的系数矩阵变为[*]。可知方程组(3)只有零 解，即k1=k2=l1=l2=0，于是η=0，不合题意。 当a=-1时，方程组(3)系数矩阵变为[*]，解得k1=l1+4l2，k2=l1+7l2。 于是η=(l1+4l2)β1+(l1+7l2)β2=l1α1+l2α2。 所以当a=-1时，方程组(1)与(2)有非零公共解，且公共解是 l1(2，-1，1，1)T+l2(-1，2，4，7)T，l1，l2为任意常数。
解析
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