设有向量组(Ⅰ):α1=(1,0,2)T,α2=(1,1,3)T,α3=(1,—1,a+2)T和向量组(Ⅱ):β1=(1,2,a+3)T,β2=(2,1,a+6)T,β3=(2,1,a+4)T。试问:当a为何值时(Ⅰ)与(Ⅱ)等价,当a为何值时(Ⅰ)与(Ⅱ

admin2019-03-23  46

问题 设有向量组(Ⅰ):α1=(1,0,2)T,α2=(1,1,3)T,α3=(1,—1,a+2)T和向量组(Ⅱ):β1=(1,2,a+3)T,β2=(2,1,a+6)T,β3=(2,1,a+4)T。试问:当a为何值时(Ⅰ)与(Ⅱ)等价,当a为何值时(Ⅰ)与(Ⅱ)不等价。

选项

答案令xj1α1+xj2α2+xj3α3j(j=1,2,3), (1) 对(α1,α2,α3[*]β1,β2,β3)作初等行变换,即 [*] 可见,当a+1≠0,即a≠—1时,(1)中的三个非齐次线性方程组都有解且为唯一解,此时β1,β2,β3都可由α1,α2,α3线性表示,即向量组(Ⅱ)可由(Ⅰ)线性表示。 当a+1=0,即a= —1时,由于R(α1,α2,α3)≠R(α1,α2,α3,β1),R(α1,α2,α3)≠R(α1,α2,α3,β3),故此时β1,β3不能由α1,α2,α3线性表示,即向量组(Ⅱ)不能由(Ⅰ)线性表示。 类似地,令xi1β1+xi2β2+xi3β3i(i=1,2,3)。(2)对(β1,β2,β3[*]α1,α2,α3)作初等行变换,即 [*] 可见,无论a取何值,总有 R(β1,β2,β3)=R(β1,β2,β3,α1,α2,α3), 即α1,α2,α3都可由β1,β2,β3线性表示,亦即向量组(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示。 综上可知,当a≠—1时,向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价;当a= —1时,向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)不等价。

解析
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