2. 考研
  3. 设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0，其中A，n均为m×n矩阵，现有四个命题： ①若Ax=0的解均是Bx=0的解，则r（A）≥r（B）； ②若r（A）≥r（B），则Ax=0的解均是Bx=0的解； ③若Ax=0与Bx=0同解，则r（A）=r（B）； ④若r（

设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0，其中A，n均为m×n矩阵，现有四个命题： ①若Ax=0的解均是Bx=0的解，则r（A）≥r（B）； ②若r（A）≥r（B），则Ax=0的解均是Bx=0的解； ③若Ax=0与Bx=0同解，则r（A）=r（B）； ④若r（

admin2017-10-12  26
问题 设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0，其中A，n均为m×n矩阵，现有四个命题：
①若Ax=0的解均是Bx=0的解，则r（A）≥r（B）；
②若r（A）≥r（B），则Ax=0的解均是Bx=0的解；
③若Ax=0与Bx=0同解，则r（A）=r（B）；
④若r（A）=r（B），则Ax=0与Bx=0同解。
以上命题中正确的有（     ）
选项 A、①②
B、①③
C、②④
D、③④
答案B
解析 由于线性方程组Ax=0和Bx=0之间可以无任何关系，此时其系数矩阵的秩之间的任何关系都不会影响它们各自解的情况，所以②，④显然不正确，利用排除法，可得正确选项为B。
下面证明①，③正确：
对于①，由Ax=0的解均是Bx=0的解可知，方程组Bx=0含于Ax=0之中。从而Ax=0的有效方程的个数（即r（A））必不少于B=0的有效方程的个数（即r（B）），故r（A）≥r（B）．
对于③，由于A，B为同型矩阵，若Ax=0与Bx=0同解，则其解空间的维数（即基础解系包含解向量的个数）相同，即
n—r（A）=n—r（B），从而r（A）=r（B）。
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考研数学三

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