设向量组α1,α2,α3线性相关,向量组α2,α3,α4线性无关,求: (1)α1能否由α2,α3线性表示?证明你的结论. (2)α4能否由α1,α2,α3线性表示?证明你的结论.

admin2020-06-05  23

问题 设向量组α1,α2,α3线性相关,向量组α2,α3,α4线性无关,求:
(1)α1能否由α2,α3线性表示?证明你的结论.
(2)α4能否由α1,α2,α3线性表示?证明你的结论.

选项

答案(1)α1能由α2,α3线性表示. 方法一 因为已知向量组α2.α3,α4线性无关,则它的部分组α2,α3线性无关,又因为α1,α2,α3线性相关,故α1能由α2,α3线性表示. 方法二 因为向量组α12,α3线性相关,故存在不全为零的数k1,k2,k3,使得k1α1+k2α2+k3α3=0,其中必有k1≠0.否则,若k1=0,则k2,k3不全为零,使k2α2+k3α3=0.即α2,α3线性相关,进而向量组α2,α3,α4线性相关,与已知矛盾.于是k1≠0.因此有 [*] 即α1可由α2,α3线性表示. (2)α4不能由α1,α2,α3线性表示. 方法一 若α4能由α1,α2,α3线性表示,不妨设 α4=k1α1+k2α2+k3α3 由(1)知α1能由α2,α3线性表示,不妨设α1=l2α2+l3α3,代入上式整理,得到 α14=(k1l2++k22+(k1l3+k33 即α4可由α2,α3线性表示,从而α2,α3,α4线性相关,与已知矛盾.因此,α4不能由α1,α2,α3线性表示. 方法二 因为α1,α2,α3线性相关,R(α1,α2,α3)﹤3.又因α2,α3,α4线性无关,所以R(α1,α2,α3,α4)≥3.因此R(α1,α2,α3)﹤R(α1,α2,α3,α4),进而α4不能由α1,α2,α3线性表示.

解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/Gl9RFFFM
0

最新回复(0)