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设f(x)在[a,b]上连续且单调增加,证明:∫abxf(x)dx≥∫abf(x)dx.
设f(x)在[a,b]上连续且单调增加,证明:∫abxf(x)dx≥∫abf(x)dx.
admin
2018-05-21
6
问题
设f(x)在[a,b]上连续且单调增加,证明:∫
a
b
xf(x)dx≥
∫
a
b
f(x)dx.
选项
答案
方法一 [*] 因为f(x)在[a,b]上单调增加,所以∫
a
b
φ(x)dx≥0, [*] 故∫
a
b
xf(x)dx≥[*]f(x)dx. 方法二令φ(x)=∫
a
x
tf(t)dt-[*]∫
a
x
f(t)dt,显然φ(a)=0. φ’(x)=xf(x)=1/2∫
a
x
f(t)dt-[*]f(x)=1/2[(x-a)f(x)-∫
a
xf(t)
dt] =1/2[∫
a
x
f(x)dt-∫
a
x
f(x)dt]=1/2∫
a
x
[f(x)-f(t)]dt≥0 [*] 得φ(b)≥φ(a)=0,所以∫
a
b
xf(x)dx≥[*]
a
b
f(x)dx.
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/GYVRFFFM
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考研数学一
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