2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上连续且单调增加，证明：∫abxf(x)dx≥∫abf(x)dx．

设f(x)在[a，b]上连续且单调增加，证明：∫abxf(x)dx≥∫abf(x)dx．

admin2018-05-21  6
问题 设f(x)在[a，b]上连续且单调增加，证明：∫abxf(x)dx≥∫abf(x)dx．
选项
答案方法一 [*] 因为f(x)在[a，b]上单调增加，所以∫abφ(x)dx≥0， [*] 故∫abxf(x)dx≥[*]f(x)dx． 方法二令φ(x)=∫axtf(t)dt－[*]∫axf(t)dt，显然φ(a)=0． φ’(x)=xf(x)=1／2∫axf(t)dt－[*]f(x)=1／2[(x－a)f(x)－∫axf(t)dt] =1／2[∫axf(x)dt－∫axf(x)dt]=1／2∫ax[f(x)－f(t)]dt≥0 [*] 得φ(b)≥φ(a)=0，所以∫abxf(x)dx≥[*]abf(x)dx．
解析
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考研数学一

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