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若函数f(χ)在[0,1]上连续,在(0,1)内具有二阶导数,f(0)=f(1)=0,f〞(χ)<0,且f(χ)在[0,1]上的最大值为M.求证: (Ⅰ)f(χ)>0(χ∈(0,1)); (Ⅱ)自然数n,存在唯一的χn∈(0,1),使得f′
若函数f(χ)在[0,1]上连续,在(0,1)内具有二阶导数,f(0)=f(1)=0,f〞(χ)<0,且f(χ)在[0,1]上的最大值为M.求证: (Ⅰ)f(χ)>0(χ∈(0,1)); (Ⅱ)自然数n,存在唯一的χn∈(0,1),使得f′
admin
2020-04-21
41
问题
若函数f(χ)在[0,1]上连续,在(0,1)内具有二阶导数,f(0)=f(1)=0,f〞(χ)<0,且f(χ)在[0,1]上的最大值为M.求证:
(Ⅰ)f(χ)>0(χ∈(0,1));
(Ⅱ)
自然数n,存在唯一的χ
n
∈(0,1),使得f′(χ
n
)=
.
选项
答案
(Ⅰ)由题设条件及罗尔定理,[*]a∈(0,1),f′(a)=0.由f〞(χ)<0(χ∈(0,1))推出f′(χ)在(0,1)↘ [*] 则f(χ)在[0,a][*],在[a,1]↘ [f(χ)>f(0)=0(0<χ≤a), f(χ)>f(1)=0(a≤χ<1), 得f(χ)>0(χ∈(0,1)). [*] (Ⅱ)由题设知存在χ
M
∈(0,1)使得f(χ
M
)=M>0. 先证[*]是f′(χ)的某一中间值. 因f′(χ
M
)=0,由拉格朗日中值定理,存在ξ
n
∈(0,χ
M
)使得 [*] 亦即f′(χ
M
)<[*]<f′(ξ
n
). 这里f′(χ)在[ξ
n
,χ
M
]连续,再由连续函数中间值定理得,存在χ
n
∈(ξ
n
,χ
M
)[*](0,1),使得f′(χ
n
)=[*]. 最后再证唯一性. 由f〞(χ)<0(χ∈(0,1))推出f′(χ)在(0,1)单调减少,则在区间(0,1)内f′(χ)=[*]的点是唯一的,即χ
n
.
解析
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考研数学二
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