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  3. 设A为n阶矩阵（n≥2），A*为A的伴随矩阵，证明

设A为n阶矩阵（n≥2），A*为A的伴随矩阵，证明

admin2017-12-29  28
问题 设A为n阶矩阵（n≥2），A*为A的伴随矩阵，证明
选项
答案（1）当r（A）=n时，|A|≠0，则有|A*|=|A|n—1≠0，从而A*可逆，即r（A*）=n。 （2）当r（A）=n一1时，由矩阵秩的定义知，A中至少有一个n一1阶子式不为零，即A*中至少有一个元素不为零，故r（A*）≥1。 又因r（A）=n一1时，有|A|=0，且由AA*=|A|E知AA*=0。根据矩阵秩的性质得r（A）+r（A*）≤n， 把r（A）=n一1代入上式，得r（A*）≤1。综上所述，有r（A*）=1。 （3）当r（A）≤n一2时，A的所有n一1阶子式都为零，也就是A*的任一元素均为零，即A*=O，从而r（A*）=0。
解析
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考研数学三

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