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  3. [2008年] 已知幂级数an(x+2)n在x=0处收敛，在x=一4处发散，则幂级数an(x一3)n的收敛域为______．[img][/img]

[2008年] 已知幂级数an(x+2)n在x=0处收敛，在x=一4处发散，则幂级数an(x一3)n的收敛域为______．[img][/img]

admin2019-04-08  19
问题 [2008年]  已知幂级数an(x+2)n在x=0处收敛，在x=一4处发散，则幂级数an(x一3)n的收敛域为______．[img][/img]
选项
答案(1，5]
解析 由题设及阿贝尔定理知，当｜x+2｜＜｜0+2｜=2即一4＜x＜0时，幂级数an(x+2)n收敛．而当｜x+2｜＞｜一4+2｜=2即x＜一4或x＞0时，该幂级数发散．因而其收敛区间为-4＜x＜0．于是其收敛半径为R=[0-(-4)]／2=2．又an(x+2)n与anxn有相同的收敛半径，而anxn当然也与an(x-3)n有相同的收敛半径．故an(x+2)n与an(x-3)n有相同的收敛半径，后者的收敛区间为一2＜x一3＜2，即1＜x＜5．
又当x=0时，x+2=2．令x一3=2，得x=5；当x=一4时，x+2=一2．令x一3=一2，得x=1．
于是幂级数an(x+2)n在x=0处收敛，相当于幂级数an(x-2)n在x=5处收敛；而幂级数an(x+2)n在x=一4处发散，相当于幂级数an(x-2)n在x=1处发散．故an(x-3)n的收敛域为(1，5]．[img][/img]
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