2. 考研
  3. 设A为m×n矩阵，且r(A)＝r()＝r＜n，其中＝(Ab)． (Ⅰ)证明方程组AX＝b有且仅有n－r＋1个线性无关解； (Ⅱ)若有三个线性无关解，求a，b的值及方程组的通解．

设A为m×n矩阵，且r(A)＝r()＝r＜n，其中＝(Ab)． (Ⅰ)证明方程组AX＝b有且仅有n－r＋1个线性无关解； (Ⅱ)若有三个线性无关解，求a，b的值及方程组的通解．

admin2019-07-10  52
问题 设A为m×n矩阵，且r(A)＝r()＝r＜n，其中＝(Ab)．
    (Ⅰ)证明方程组AX＝b有且仅有n－r＋1个线性无关解；
    (Ⅱ)若有三个线性无关解，求a，b的值及方程组的通解．
选项
答案(Ⅰ)令ξ1，ξ2，…，ξn-r…为AX＝0的基础解系，η0为AX＝b的特解，显然β0＝η0，β1＝ξ1＋η0，…，βn-r＝ξn-r＋η0为AX＝b的一组解，令k0β0＋k1β1…＋kn-rβn-r＝0，即 k1ξ1＋k2ξ2＋…＋kn-rξn-r＋(k0＋k1＋…＋kn-r)η0＝0． 上式左乘A得(k0＋k1…＋kn-r)b＝0，因为b≠0时，k0＋k1…＋kn-r＝0，于是k1ξ1＋k2ξ2＋…＋kn-rξn-r＝0，因为ξ1，ξ2，…，ξn-r为AX＝0的基础解系，所以k1＝k2＝…＝kn-r＝0，于是k0＝0，故β0，β1，…，βn-r线性无关． 若γ0，γ1，…，γn-r+1为AX＝b的线性无关解，则ξ1＝γ1－γ0，…，ξn-r+1＝γ0为AX＝0的解，令k1ξ1＋k2ξ2＋…＋kn-r+1ξn-r+1＝0，则 k1γ1＋k2γ2＋…＋kn-r+1γn-r+1－(k1＋k2＋…＋kn-r+1)γ＝0． 因为γ0，γ1，…，γn-r+1线性无关，所以k1＝k2＝…kn-r+1＝0，即ξ1，ξ2，…，ξn-r+1为AX＝0的线性无关解，矛盾，故方程组AX＝b恰有n－r＋1个线性无关解． (Ⅱ)令[*] 则[*]化为AX＝β． 因为AX＝β有三个非零解，所以AX＝0有两个非零解，故4－r(A)≥2，r(A)≤2，又因为r(A)≥2，所以r(A)＝r([*])＝2． [*] 则a＝－3，b＝－1． 由[*]得原方程组的通解为 X＝[*](其中k1，k2为任意常数)．
解析
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考研数学二

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