2. 考研
  3. 设y＝f(x)是区间[0，1]上的任一非负连续函数． (1)试证存在x0∈(0，1)，使得在区间[0，x0]上以f(x0)为高的矩形面积，等于在[x0，1]上以y＝f(x)为曲边的梯形面积． (2)又设f(x)在区间(0，1)内可导，且，证明(1)中的x0

设y＝f(x)是区间[0，1]上的任一非负连续函数． (1)试证存在x0∈(0，1)，使得在区间[0，x0]上以f(x0)为高的矩形面积，等于在[x0，1]上以y＝f(x)为曲边的梯形面积． (2)又设f(x)在区间(0，1)内可导，且，证明(1)中的x0

admin2014-07-22  43
问题 设y＝f(x)是区间[0，1]上的任一非负连续函数．
(1)试证存在x0∈(0，1)，使得在区间[0，x0]上以f(x0)为高的矩形面积，等于在[x0，1]上以y＝f(x)为曲边的梯形面积．
(2)又设f(x)在区间(0，1)内可导，且，证明(1)中的x0是唯一的．
选项
答案(1)令ψ(x)＝－x∫x1f(t)dt．则ψ(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且ψ(0)＝ψ(1)＝0．由罗尔定理知，存在x∫0∈(0，1)，使ψ’(x∫0)＝0，即 ψ’(x∫0)＝x∫0f(x(0)－∫x01f(t)dt＝0， 也即x0f(x0)＝∫x01f(x)dx． (2)令F(x)＝xf(x)－∫x1(t)dt，则 F’(x)＝xf’(x)＋f(z)＋f(x)＝2f(x)＋xf’(x)＞0， 即F(x)在(0，1)内严格单调增加，从而F(x)＝0的点x＝x0必唯一，故(1)中的x0是唯一的．
解析 [分析](1)要证的结论相当于存在x0∈(0，1)，使x0f(x0)＝∫x00f(x)dx，可考虑对辅助函数ψ(x)＝xf(x)－∫x00f(x)dt在闭区间[0，1]上用连续函数的介值定理，但ψ(0)ψ(1)＜0是否成立?仅由f(x)是非负连续函数无法推证，可改用微分中值定理，ψ(x)是某函数导数的结果，这只需令    ψ’(x)＝xf(x)－∫x1(t)dt，
然后积分得ψ(x)＝∫x1f(t)dt，再对其应用罗尔定理即可．
    (2)唯一性一般用单调性证明，而这只需证明ψ’(x)定号即可．
[评注]  本题表面上用连续函数的介值定理，而实际上要用微分叶中值定理，其关键又存于构造合适的辅助函数．本题先令
ψ(x)＝xf(x)－∫x1f(t)df，
用介值定理无法证明，再改令
    ψ(x)＝xf(x)－∫x1f(t)dt，
然后通过不定积分，得到所需辅助函数ψ(x)＝－x∫x1f(t)dt，这种处理技巧值得注意．
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考研数学二

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