2. 公务员
  3. 设函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，f(x)+g(x)=ex，其中e为自然对数的底数． 设a≤0，b≥1，证明：当x＞0时，ag(x)+(1一a)＜＜bg(x)+(1－b)．

设函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，f(x)+g(x)=ex，其中e为自然对数的底数． 设a≤0，b≥1，证明：当x＞0时，ag(x)+(1一a)＜＜bg(x)+(1－b)．

admin2019-08-05  14
问题 设函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，f(x)+g(x)=ex，其中e为自然对数的底数．
设a≤0，b≥1，证明：当x＞0时，ag(x)+(1一a)＜＜bg(x)+(1－b)．
选项
答案f’(x)=[*](ex+e－x)=g(x) ⑤， g’(x)=[*](ex一e－x)=f(x) ⑥， 当x＞0时，[*]＞ag(x)+(1－a)等价于f(x)＞axg(x)+(1－a)x ⑦， [*]＜bg(x)+(1—b)等价于f(x)＜bxg(x)+(1－b)x ⑧． 设函数h(x)=f(x)－cxg(x)一(1－c)x，由⑤⑥，有h’(x)=g(x)一cg(x)一cxf(x)一(1一c)=(1－c)[g(x)一1]－cxf(x)．当x＞0时，(1)若c≤0，由③④，得h’(x)＞0，故h(x)在[0，+∞)上为增函数，从而h(x)＞h(0)=0．即f(x)＞cxg(x)+(1一c)x，故⑦成立．(2)若c≥1，由③④，得h’(x)＜0，故h(x)在[0，+∞)上为减函数，从而h(x)＜h(0)=0，即f(x)＜cxg(x)+(1－c)x，故⑧成立．综合⑦⑧，得ag(x)+(1一a)＜[*]＜bg(x)+(1—b)．
解析
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