设f(x)在区间(一∞，+∞)上连续，且满足求f(x)的表达式．

admin2018-08-22 4

问题设f(x)在区间(一∞，+∞)上连续，且满足

求f(x)的表达式．

选项

答案令[*]有F(0)=1，且 F’(x)=e^xf(x)，f(x)=e^-xF’(x)．从而e^-xF’(x)F(x)=x+1．这是关于F(x)的一个变量可分离的微分方程，分离变量得 F(x)F’(x)=(x+1)e^x， (*) 两边积分得 F²(x)=∫2(x+1)e^xdx=2xe^x+C．因F(0)=1，所以C=1，从而得 F²(x)=2xe^x+1．以下证明：当x∈(一∞，+∞)时2xe^x+1＞0．令φ(x)=2xe^x+1，有 φ’(x)=2(x+1)e^x，令φ’(x)=0得唯一驻点x₀=一1．当x＜一1时φ’(x)＜0，当x＞一1时φ’(x)＞0．故唯一驻点为φ(x)的最小值点，于是有φ(x)≥φ(一1)=一2e^-1+1＞0．从而 [*](开方取“+”原因是F(0)=1)， [*] 所以 [*]

解析

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