设f(x)在区间(一∞,+∞)上连续,且满足 求f(x)的表达式.

admin2018-08-22  4

问题 设f(x)在区间(一∞,+∞)上连续,且满足
           
  求f(x)的表达式.

选项

答案令[*]有F(0)=1,且 F’(x)=exf(x),f(x)=e-xF’(x). 从而e-xF’(x)F(x)=x+1.这是关于F(x)的一个变量可分离的微分方程, 分离变量得 F(x)F’(x)=(x+1)ex, (*) 两边积分得 F2(x)=∫2(x+1)exdx=2xex+C. 因F(0)=1,所以C=1,从而得 F2(x)=2xex+1. 以下证明:当x∈(一∞,+∞)时2xex+1>0.令φ(x)=2xex+1,有 φ’(x)=2(x+1)ex, 令φ’(x)=0得唯一驻点x0=一1.当x<一1时φ’(x)<0,当x>一1时φ’(x)>0.故唯一驻点为φ(x)的最小值点,于是有φ(x)≥φ(一1)=一2e-1+1>0. 从而 [*](开方取“+”原因是F(0)=1), [*] 所以 [*]

解析
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