2. 考研
  3. [2005年] 如图1．3．2．3所示，曲线C的方程为y=f(x)，点(3，2)是它的一个拐点，直线l1与l2分别是曲线C在点(0，0)与(3，2)处的切线，其交点为(2，4)．设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分∫03(x2+x)f″′(x)dx

[2005年] 如图1．3．2．3所示，曲线C的方程为y=f(x)，点(3，2)是它的一个拐点，直线l1与l2分别是曲线C在点(0，0)与(3，2)处的切线，其交点为(2，4)．设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分∫03(x2+x)f″′(x)dx

admin2019-04-05  75
问题 [2005年]  如图1．3．2．3所示，曲线C的方程为y=f(x)，点(3，2)是它的一个拐点，直线l1与l2分别是曲线C在点(0，0)与(3，2)处的切线，其交点为(2，4)．设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分∫03(x2+x)f″′(x)dx．
选项
答案因被积函数含有抽象函数的导数，可用分部积分法计算，且让函数导数进入微分号．再利用图形，求出相关数据算出结果． 先从图中获取计算积分所需的数据：f(3)=2，f(0)=0．从图中还可求出曲线y=f(x)在点(0，0)与(3，2)处的切线斜率： f′(0)=(4—0)／(2－0)=2， f′(3)=一(2—0)／(4—3)=一2． 由(3，2)是曲线y=f(x)的拐点知，f″(3)=0(拐点的必要条件)．因被积函数含函数的导数，下用分部积分法求其值． ∫03(x2+x)f″′(x)dx=(x2+x)f″(x)∣03－∫03(2x+1)f″(x)dx =一∫03(2x+1)f″(x)dx=－(2x+1)f′(x)∣03+2∫03f′(x)dx =一[7×(一2)一2]+2∫03f′f(x)dx=16+2f(x)∣03=16+4=20．
解析
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考研数学二

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