设A为3阶实对称矩阵，存在可逆矩阵，使得P-1AP=diag(1，2，-1)，A的伴随矩阵A有特征值λ0，对应的特征向量为α=(2，5，-1)T。求正交矩阵Q，使得QTAQ=A。

admin2021-12-14 39

问题设A为3阶实对称矩阵，存在可逆矩阵

，使得P^-1AP=diag(1，2，-1)，A的伴随矩阵A^*有特征值λ₀，对应的特征向量为α=(2，5，-1)^T。
求正交矩阵Q，使得Q^TA^*Q=A。

选项

答案由A的特征值为λ₁=1，λ₂=2，λ₃=-1，知A^*的特征值为μ₁=｜A｜λ₁=-2，μ₂=｜A｜/λ₂=-1，μ₃=｜A｜/λ₃=2由已知，A^*对应的特征向量β₁=α₁=(1，0，2)^T，β₂=α₂=(-2，1，1)^T，β₃=α₃=(-2，-5，1)^T，已正交，故只需单位化，得[*]令Q=(γ₁，γ₂，γ₃)，则Q^TA^*Q=Q^-1A^*Q=diag(-2，-1，2)。

解析

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