首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
函数f(x)在[0,+∞)上可导,f(0)=1,且满足等式 。 (1)求导数f(x); (2)证明:当x≥0时,不等式e-x≤f(x)≤1成立.
函数f(x)在[0,+∞)上可导,f(0)=1,且满足等式 。 (1)求导数f(x); (2)证明:当x≥0时,不等式e-x≤f(x)≤1成立.
admin
2019-08-01
28
问题
函数f(x)在[0,+∞)上可导,f(0)=1,且满足等式
。
(1)求导数f(x);
(2)证明:当x≥0时,不等式e
-x
≤f(x)≤1成立.
选项
答案
[详解1](1)根据题设,有 (x+1)f’(x)+(x+1)f(x)-∫
0
x
f(x)dt=0, 上式两边对x求导,得 (x+1)f"(x)=-(x+2)f’(x), 即[*]。 两边积分,得 lnf’(x)=-x+ln(x+1)+lnC, 即有[*]。 在题设等式中令x=0,得f’(0)+f(0)=0,又f(0)=1,于是f’(0)=-1,代入f’(x)的 表达式,得C=-1,故有[*] (2)当x≥0时,f’(x)<0,即f(x)单调减少,又f(0)=1,所以 f(x)≤f(0)=1. 设ψ(x)=f(x)-e
-x
,则ψ(0)=0,ψ’(x)=f’(x)+e
x
=[*]。 当x≥0时,ψ’(x)≥0,即ψ(x)单调增加,因而ψ(x)≥ψ(0)=0,即有 f(x)≥e
-x
. 综上所述,当x≥0时,成立不等式e
-x
≤f(x)≤1. [详解2](1)解法同详解1. (2)由于f(x)=f(0)+∫
0
x
f’(t)dt=[*],由于当t≥0时,[*],于是由定积分的性质得 [*], 因此,当x≥0时,有e
-x
≤f(x)≤1.
解析
[分析] 含有变限的定积分问题,一般都是先求导,引出一微分方程.本题若直接求导不能消去积分,因此应先乘以x+1,再求导.(2)中不等式的证明需要利用(1)中的结果,引进适当的辅助函数后,用单调性即可完成证明.
[评注1]将方程
化为(1+x)f’(x)+(1+x)f(x)-∫
0
x
f(t)dt=0的目的是通过求导能消去变限积分∫
0
x
f(t)dt,应注意掌握这种技巧.
[评注2] 如果已知f’(x)的表达式或具有某种性质,但不能通过不定积分求出f(x) 的表达式,则可通过变限积分建立f(x)与f’(x)之间的联系,即有f(x)=f(a)+∫
a
x
f’(t)dx.
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/FBERFFFM
0
考研数学二
相关试题推荐
设0<a<b,证明:
设ξ为f(x)=arctanx在[0,a]上使用微分中值定理的中值,则为().
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内存在二阶导数,且f(0)=0,f(1)=1,证明:对任意的a>0,b>0,存在ξ,η∈(0,1),使得=a+b.
设连续非负函数f(x)满足f(x)f(-x)=1,则=________.
用变量代换x=sint将方程(1-x2)化为y关于t的方程,并求微分方程的通解.
设f(x)在[0,1]连续,在(0,1)内f(x)>0且xf’(z)=f(x)+ax2,又由曲线y=f(x)与直线x=1,y=0围成平面图形的面积为2,求函数y=f(x),问a为何值,此图形绕x轴旋转而成的旋转体体积最小?
曲线(x-1)3=2上点(5,8)处的切线方程是_______.
下列反常积分中发散的是
求不定积分
一个高为l的柱体形贮油罐,底面是长轴为2a,短轴为2b的椭圆。现将贮油罐平放,当油罐中油面高度为时(如图1一3—4),计算油的质量。(长度单位为m,质量单位为kg,油的密度为常数ρkg/m3。)
随机试题
“众里寻他千百度,蓦然回首,那人却在灯火阑珊处。”这一情形可以归结为注意的()功能。
不同部位不同条件下安装的消防给水管的材质和处理方式也不同。当工作压力小于或等于0.60MPa时,室外埋地的消防给水管宜采用()
上市公司提取法定盈余公积达到注册资本的()时,可不再提取法定盈余公积。
深度睡眠状态亦被称为“休眠”,是人体处在低体温情况下可以自然发生的一种现象。人类飞往月球只要3天,但飞往火星则需要5—6个月。虽然人类现在的技术维持几个人在太空中生活几年不是什么大问题,但如果能让宇航员处于休眠状态,他们对水和食物的总体需求就可降低许多,不
元代永乐宫三清殿壁画的作者是民间画工__________等,而纯阳殿的壁画构图则是采用了__________的表现形式。
成长需要自由的空间,要想使人成长得更快,就一定要给他活动的自由,而不要将他拘泥于一个小小的鱼缸。这种给予更大空间而带来更快发展的现象被称为“鱼缸法则”。根据上述定义,下列现象属于“鱼缸法则”的是:
中国共产党在抗日民族统一战线中坚持的根本原则是()。
我国的基本法律部门包括()。
经典奔腾有两个8KB的超高速缓存,一个用于缓存指令,一个用于缓存______,这样可以大大提高访问Cache的命中率。
下列符号中可以用做C++标识符的是()。
最新回复
(
0
)