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  3. 设连续函数f(x)满足f(x)=∫02xf()dt+ex，则f(x)=___________。

设连续函数f(x)满足f(x)=∫02xf()dt+ex，则f(x)=___________。

admin2019-05-14  36
问题 设连续函数f(x)满足f(x)=∫02xf()dt+ex，则f(x)=___________。
选项
答案2e2x—ex
解析 因∫02xf()dt=2∫0xf(t)dt，所以f(x)=∫02xf()dt+ex可化为f(x)=2∫0xf(t)dt+ex，两边求导数得f’(x)一f(x)=ex，解此一阶微分方程得
    f(x)=[∫ex．e∫—2dxdx+C]e-∫—2dx=(一e-x+C)e2x=Ce2x—ex。
    因为f(0)=1，所以有f(0)=C一1=1，即C=2，于是f(x)=2e2x—ex。
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考研数学一

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