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  3. 设f(x)在(－∞，+∞)上连续，F(x)=f(t)dt，则下列命题中错误的是( )．

设f(x)在(－∞，+∞)上连续，F(x)=f(t)dt，则下列命题中错误的是( )．

admin2019-07-24  20
问题 设f(x)在(－∞，+∞)上连续，F(x)=f(t)dt，则下列命题中错误的是(    )．
选项 A、若f(x)是偶函数，则F(x)是奇函数
B、若f(x)是奇函数，则F(x)是偶函数
C、若f(x)以T为周期且是偶函数，则F(x)以T为周期且是奇函数
D、若f(x)以T为周期且是奇函数，则F(x)以T为周期且是偶函数
答案C
解析 利用f(t)dt的性质判定．
利用f(t)dt的性质知，(A)、(B)均正确，而(C)错误．例如，f(x)≡1是以T为周期的偶函数，但F(x)=1dt=x不是周期函数，但(D)是正确的．
我们知道，若f(x)是以T为周期，则其原函数F(x)=f(t)dt也是以T为周期的充要条件是f(x)dx=0．
当f(x)以T为周期且是奇函数时，有

因而F(x)=f(t)dt以T为周期且是偶函数．仅(C)入选．
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