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设f(x)具有二阶连续导数,f(0)=0,f’(0)=1,且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f’(x)+x2y]dy=0为一全微分方程,求f(x)及此全微分方程的通解.
设f(x)具有二阶连续导数,f(0)=0,f’(0)=1,且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f’(x)+x2y]dy=0为一全微分方程,求f(x)及此全微分方程的通解.
admin
2022-07-21
65
问题
设f(x)具有二阶连续导数,f(0)=0,f’(0)=1,且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f’(x)+x
2
y]dy=0为一全微分方程,求f(x)及此全微分方程的通解.
选项
答案
(1)由全微分方程的充要条件得,f(x)满足 [*] 即f’’(x)+f(x)=x
2
,解得 f(x)=C
1
cosx+C
2
sinx+x
2
-2 再由f(0)=0,f’(0)=1可得C
1
=2,C
2
=1.从而 f(x)=2cosx+sinx+x
2
-2 (2)将f(x)的表达式代入原方程中,得 [xy
2
-(2cosx+sinx)y+2y]dx+(-2sinx+cosx+2x+x
2
y)dy=0 由积分法得 u(x,y)=∫
(0,0)
(x,y)
[xy
2
-(2cosx+sinx)y+2y]dx+(-2sinx+cosx+2x+x
2
y)dy =∫
0
y
(-2sinx+cosx+2x+x
2
y)dy =-2ysinx+ycosx+2xy+[*]x
2
y
2
所以原方程的通解为-2ysinx+ycosx+2xy+[*]x
2
y
2
=C.
解析
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考研数学二
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