设随机变量(X,Y)在矩形区域D={(χ,y):0<χ<2.0<y<2}上服从均匀分布, (Ⅰ)求U=(X+Y)2的概率密度; (Ⅱ)求V=max(X,Y)的概率密度; (Ⅲ)求W=XY的概率密度.

admin2018-06-12  27

问题 设随机变量(X,Y)在矩形区域D={(χ,y):0<χ<2.0<y<2}上服从均匀分布,
    (Ⅰ)求U=(X+Y)2的概率密度;
    (Ⅱ)求V=max(X,Y)的概率密度;
    (Ⅲ)求W=XY的概率密度.

选项

答案(Ⅰ)设U的分布函数为FU(u),则 当u<0时,FU(u)=P{U≤u}=0; 当u≥16时,FU(u)=P{U≤u}=1; 当0≤u<4时,如图7—1(a): [*] FU(u)=P{(X+Y)2≤u} =P{0≤X+Y≤[*]} =[*] 当4≤u<16时, FU(u)=P{(X+Y)2≤u}=P{0≤X+Y≤[*]} =[*] 因此U的概率密度fU(u)为 [*] (Ⅱ)记V的分布函数为FV(v),由于(X,Y)服从均匀分布的区域D是边长平行于坐标轴的矩形因此X与Y相互独立且都服从区间(0,2)上的均匀分布,它们的边缘分布函数都是 [*] FV(v)=P{V≤v}=P{max(X,Y)≤v} =P{X≤v,Y≤v}=P{X≤v}P{Y≤v} =FX(v)FY(v)=[F(v)]2 =[*] 于是V的概率密度fV(v)为 [*] (Ⅲ)记W的分布函数为FW(w),则 当w<0时,FW(w)=0;当w≥4时,FW(w)=1; 当0≤w<4时,如图7—1(b): [*] FW(w)=P{W≤w}=P{XY≤w}=[*] SD-[*]=w+w(2ln2-lnw), FW(w)=[*](1+2ln2-lnw). 或先计算概率P{XY>w}: P{XY>w}=[*]f(χ,y)dχdy. 由于(X,Y)服从D上均匀分布,其联合概率密度f(χ,y)为 [*] FW(w)=1-P{XY>w}=[*](1+2ln2-lnw). 于是,W的概率密度fW(w)为 [*]

解析
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