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  3. 设随机事件A、B相互独立，P(A)＝P，0＜P＜1，且A发生B不发生与A不发生B发生的概率相同，令随机变量 求：(Ⅰ)二维随机变量(X，Y)的概率分布； (Ⅱ)X＋Y的概率分布； (Ⅲ)X与X＋Y的相关系数ρ．

设随机事件A、B相互独立，P(A)＝P，0＜P＜1，且A发生B不发生与A不发生B发生的概率相同，令随机变量 求：(Ⅰ)二维随机变量(X，Y)的概率分布； (Ⅱ)X＋Y的概率分布； (Ⅲ)X与X＋Y的相关系数ρ．

admin2019-07-19  25
问题 设随机事件A、B相互独立，P(A)＝P，0＜P＜1，且A发生B不发生与A不发生B发生的概率相同，令随机变量

    求：(Ⅰ)二维随机变量(X，Y)的概率分布；
    (Ⅱ)X＋Y的概率分布；
    (Ⅲ)X与X＋Y的相关系数ρ．
选项
答案依题意P(A[*])＝P([*]B)，由于P(B)＝P([*]B)＋P(AB)，P(A)＝P(A[*])＋P(AB)，故 P(B)＝P(A)＝P，P(AB)＝P(A)P(B)＝p2． (Ⅰ)(X，Y)是二维离散型随机变量，其可能取值为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1．1)(称为二维0－1分布)，且 P{X＝0，Y＝0}＝P([*])＝P([*])＝1－P； P{X＝0，Y＝1}＝P([*]AB)＝0； P{X＝1，Y＝0}＝P(A[*])＝P[A([*])]＝P(A[*])＝p(1－p)； P{X＝1，Y＝1}＝P(AAB)＝P(AB)＝P2． 于是(X，Y)的概率分布为 [*] (Ⅱ)X＋Y是一维离散型随机变量，其可能取值为0，1，2，且 P{X＋Y＝0}＝P{X＝0，Y＝0}＝1－p； P{X＋Y＝2}＝P{X＝1，Y＝1}＝p2； P{X＋Y＝1}＝1－P{X＋Y＝0}－P{X＋Y＝2} ＝1－(1－p)－p2＝p(1－p)． 于是X＋Y的概率分布为 [*] (Ⅲ)从(Ⅰ)中容易算出 EX＝p，DX＝p(1－p)，EY＝p2，DY＝p2(1－p2)， EXY＝p2，cov(X，Y)＝EXY－EXEY＝p2－p3＝p2(1－p)． 应用随机变量函数的方差公式及协方差的性质，有 D(X＋Y)＝DX＋2coy(X，Yy)＋DY＝p(1－p)＋2p2(1－p)＋p2(1－p2) ＝p(1－p)(1＋3p＋p2)， cov(X，X＋Y)＝DX＋cov(X，Y)＝p(1－p)＋p2(1－p)＝p(1－p)(1＋p)， 于是ρ＝[*]
解析
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