设随机事件A、B相互独立,P(A)=P,0<P<1,且A发生B不发生与A不发生B发生的概率相同,令随机变量 求:(Ⅰ)二维随机变量(X,Y)的概率分布; (Ⅱ)X+Y的概率分布; (Ⅲ)X与X+Y的相关系数ρ.

admin2019-07-19  20

问题 设随机事件A、B相互独立,P(A)=P,0<P<1,且A发生B不发生与A不发生B发生的概率相同,令随机变量

    求:(Ⅰ)二维随机变量(X,Y)的概率分布;
    (Ⅱ)X+Y的概率分布;
    (Ⅲ)X与X+Y的相关系数ρ.

选项

答案依题意P(A[*])=P([*]B),由于P(B)=P([*]B)+P(AB),P(A)=P(A[*])+P(AB),故 P(B)=P(A)=P,P(AB)=P(A)P(B)=p2. (Ⅰ)(X,Y)是二维离散型随机变量,其可能取值为(0,0),(0,1),(1,0),(1.1)(称为二维0-1分布),且 P{X=0,Y=0}=P([*])=P([*])=1-P; P{X=0,Y=1}=P([*]AB)=0; P{X=1,Y=0}=P(A[*])=P[A([*])]=P(A[*])=p(1-p); P{X=1,Y=1}=P(AAB)=P(AB)=P2. 于是(X,Y)的概率分布为 [*] (Ⅱ)X+Y是一维离散型随机变量,其可能取值为0,1,2,且 P{X+Y=0}=P{X=0,Y=0}=1-p; P{X+Y=2}=P{X=1,Y=1}=p2; P{X+Y=1}=1-P{X+Y=0}-P{X+Y=2} =1-(1-p)-p2=p(1-p). 于是X+Y的概率分布为 [*] (Ⅲ)从(Ⅰ)中容易算出 EX=p,DX=p(1-p),EY=p2,DY=p2(1-p2), EXY=p2,cov(X,Y)=EXY-EXEY=p2-p3=p2(1-p). 应用随机变量函数的方差公式及协方差的性质,有 D(X+Y)=DX+2coy(X,Yy)+DY=p(1-p)+2p2(1-p)+p2(1-p2) =p(1-p)(1+3p+p2), cov(X,X+Y)=DX+cov(X,Y)=p(1-p)+p2(1-p)=p(1-p)(1+p), 于是ρ=[*]

解析
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