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考研
交换下列积分的积分顺序:
交换下列积分的积分顺序:
admin
2017-10-23
33
问题
交换下列积分的积分顺序:
选项
答案
(Ⅰ)先对x积分,就是从区域D的左侧边界x=y
2
到右侧边界x=y+2.两边界线的交点为(1,一1)与(4,2),所以区域D又可表示为(如图4.22). D={(x,y)|一1≤y≤2,y
2
≤x≤y+2}, [*] (Ⅱ)由题中的累次积分的积分限知,积分区域D的图形如图4.23, 它的上侧边界由抛物线y=x
2
与圆x
2
+y
2
=2构成,二者的分界点为(1,1),而D的下侧边界是x轴,D中最左点的横坐标是x=0,最右点的横坐标是[*].从而D的另一形式的不等式组表示是 D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤x
2
}∪{(x,y)|1≤x≤[*]一x
2
}, 所以改变积分顺序时需分块进行积分,即 [*]
解析
在第(Ⅰ)小题中,累次积分的表示式表明:积分区域D由两部分构成,当0≤x≤1时,区域D的下侧边界为y=一
;当1≤x≤4时,D的下侧边界为y=x一2,上侧边界为y=
,即
D={(x,y)|0≤x≤1,一
}.
其图形为图4.22所示,改变积分顺序,先对x求积分,就要把区域D的边界表示成y的函数,即D的左侧边界为x=y
2
,右侧边界为x=y+2,最后再求出x=y
2
与x=y+2的两个交点的纵坐标y=一1和y=2,即可将区域D表示为
D={(x,y)|—1≤y≤2,y
2
≤x≤y+2},
由此不难写出新的累次积分.第(Ⅱ)小题可作类似分析.重要的是画出区域的图形,正确表示积分区域的边界,正确表示积分的上、下限.
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考研数学三
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