设 (1)计算A2，并将A2用A和E表出； (2)设A是二阶方阵，当k＞2时，证明：Ak=O的充分必要条件为A2=O．

admin2015-08-14 48

问题设

(1)计算A²，并将A²用A和E表出；
(2)设A是二阶方阵，当k＞2时，证明：A^k=O的充分必要条件为A²=O．

选项

答案(1) [*] 解得x=a+d，y=bc一ad，即 A²=(a+d)A+(bc-ad)E． (2)充分性A²=O,A^k=O，k＞2，显然成立； A是二阶矩阵，|A|=0，故r(A)≤1，若r(A)=0，则A=0，从而A²=0；若r(A)=1，则A=αβ^T，A²=αβ^Tαβ^T=(β^Tα)A，其中α，β为非零二维列向量． A^k=(β^Tα)^k-1A=O,β^Tα=0或A=0，从而有A²=0．

解析

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考研数学二

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[*]
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