设二维随机变量(X,Y)在区域D=((x,y)|0<x<1,x2<)}上服从均匀分布.令 (1)写出(X,Y)的概率密度f(x,y); (2)问U与X是否相互独立?并说明理由; (3)求Z=U+X分布函数F(x).

admin2017-07-26  38

问题 设二维随机变量(X,Y)在区域D=((x,y)|0<x<1,x2)}上服从均匀分布.令

    (1)写出(X,Y)的概率密度f(x,y);
    (2)问U与X是否相互独立?并说明理由;
    (3)求Z=U+X分布函数F(x).

选项

答案(1)易得区域D的面积 [*] 因(X,Y)为服从区域D上的均匀分布.所以(X,Y)的联合概率密度为 [*] (3)因为{U+X≤z}={U+X≤z,U=0)∪{U+X≤z,U=1},于是,Z=U+X的分布函数为 F(z)=P{U+X≤z}=P{U+X≤z,U=0}+P{U+X≤z,U=1} =P{X≤z,U=0)+P{X≤z一1,U=1} =P{X≤z,X>Y)+P{X≤z一1,X≤Y}. 下面分别计算上式中的两项概率. (1)当z<0时,P{X≤z,X>Y}=0, (2)当0≤z<1时, [*]

解析
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