设A为n阶矩阵，α1，α2，α3为n维列向量，其中α1≠0，且Aα1=α1，Aα2=α1+α2，Aα3=α2+α3，证明：α1，α2，α3线性无关．

admin2015-06-30 43

问题设A为n阶矩阵，α₁，α₂，α₃为n维列向量，其中α₁≠0，且Aα₁=α₁，Aα₂=α₁+α₂，Aα₃=α₂+α₃，证明：α₁，α₂，α₃线性无关．

选项

答案由Aα₁=α₁得(A-E)α₁=0；由Aα₂=α₁+α₂得(A-E)α₂=α₁；由Aα₃=α₂+α₃得(A-E)α₃=α₂，令k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃=0，(1) (1)两边左乘A-E得 k₂α₁+k₃α₂=0，(2) (2)两边左乘A-E得k₃α₁=0，因为α₁≠0，所以k₃=0，代入(2)、(1)得k₁=0，k₂=0，故α₁，α₂，α₃线性无关．

解析

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考研数学二

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曲线y=的渐近线()
设函数f(x)在［a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，且f(a)＝f(b)＝0，＝0．证明：(Ⅰ)存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)＝0；(Ⅱ)存在η∈(a，b)，使得f"(η)＝f’(η)．
设函数y=y(x)由方程ylny-x+y=0确定，判断曲线y=y(x)在点(1，1)附近的凹凸性．
由结论可知，若令φ(x)＝xf(x)，则φˊ(x)＝f(x)＋xfˊ(x)．因此，只需证明φ(x)在[0，1]内某一区间上满足罗尔定理的条件．令φ(x)＝xf(x)，由积分中值定理可知，存在η∈(0，1／2)使[*]
根据题目要求，进行作答。证明xn+1～(n→∞)
根据题目要求，进行作答。证明xn=－1.
设函数f(x)在[0,+∞)内二阶可导，且x∈(0,+∞)都有f"(x)≠0,过曲线y=f(x)(0＜x＜+∞)上的任意一点(x0，f(x0))作切线，证明：除切点外，该切线与曲线y=f(x)无交点。
设二维非零向量α不是二阶方阵A的特征向量．(1)证明：α，Aα线性无关；(2)若A2α+Aα-6α=0，求A的特征值，讨论A可否对角化；

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