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二次型f(x1，x2，x3)=xTAx=2x22+2x32+4x1x2-4x1x3+8x2x3的矩阵A=_______，规范形是______．
二次型f(x1，x2，x3)=xTAx=2x22+2x32+4x1x2-4x1x3+8x2x3的矩阵A=_______，规范形是______．
admin
2017-10-17
31
问题
二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
T
Ax=2x
2
2
+2x
3
2
+4x
1
x
2
-4x
1
x
3
+8x
2
x
3
的矩阵A=_______，规范形是______．
选项
答案
2，6，-4；x
1
2
+x
2
2
-x
3
2
解析
按定义，二次型矩阵A=
．由特征多项式｜λE-A｜=
=(λ-6)(λ-2)(λ+4)，知矩阵A的特征值是：2，6，-4．
故正交变换下二次型的标准形是2y
2
1
+6y
2
2
-4y
2
3
．所以规范形是x
2
1
+x
2
2
-x
2
3
．
或，由配方法，有
f=2[x
2
2
+2x
2
(x
1
+2x
3
)+(x
1
+2x
3
)
2
]+2x
3
2
-4x
1
x
3
-2(x
1
+2x
3
)
2
=2(x
2
+x
1
+2x
3
)
2
-2x
1
2
-12x
1
x
3
-6x
3
2
=2(x
2
+x
1
+2x
3
)
2
-2(x
1
2
+6x
1
x
3
+9x
3
2
)+12x
3
2
=2(x
2
+x
1
+2x
3
)
2
-2(x
1
+3x
3
)
2
+12x
3
2
，
亦知规范形是x
1
2
+x
2
2
-x
3
2
．
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考研数学三
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