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  3. 假设随机变量X与Y相互独立，如果X服从标准正态分布，Y的概率分布为 求：(I)Z=XY的概率密度fZ(z)； (Ⅱ)V=|X—Y|的概率密度fV(v)．

假设随机变量X与Y相互独立，如果X服从标准正态分布，Y的概率分布为 求：(I)Z=XY的概率密度fZ(z)； (Ⅱ)V=|X—Y|的概率密度fV(v)．

admin2019-01-05  18
问题 假设随机变量X与Y相互独立，如果X服从标准正态分布，Y的概率分布为
求：(I)Z=XY的概率密度fZ(z)；
(Ⅱ)V=|X—Y|的概率密度fV(v)．
选项
答案(I)根据题意[*]，X～N(0，1)且X与Y相互独立，所以Z=XY的分布函数为 FZ(z)=P{XY≤z}=P{Y=一1}P{XY≤z|Y=一1}+P{Y=1}P{XY≤z |Y=1} =P{Y=一1}P{一X≤z | Y=一1}+P{Y=1}P{X≤z|Y=1} =P{Y=一1}P{X≥一z}+P{Y=1}P{X≤z} [*] 即Z=XY服从标准正态分布，所以其概率密度为 [*] (Ⅱ)由于V=|X—Y|只取非负值，因此当v＜0时，其分布函数FV(v)=P}|X—Y|≤v}=0；当v≥0时， FV(v)=P{一v≤X—Y≤v} =P{Y=一1}P{一v≤X—Y≤v|Y=一1}+P{Y=1}P}一v≤X—Y≤v|Y=1} [*] 综上计算可得， [*] 由于FV(v)是连续函数，且除个别点外，导数都是存在的，所以V的概率密度为 [*]
解析
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考研数学三

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