求函数f(x,y)=x28y2—4x2y2在区域D={(x,y)|x2+4y2≤4,y≥0}上的最大值与最小值.

admin2019-01-05  55

问题 求函数f(x,y)=x28y2—4x2y2在区域D={(x,y)|x2+4y2≤4,y≥0}上的最大值与最小值.

选项

答案首先求f(x,y)在D内其驻点处的函数值.令 [*] 因在D内y>0,从而可解出f(x,y)在D内有且只有两个驻点[*]计算可得 [*] 其次求f(x,y)在D的边界Г1={(x,y)||x|≤2,y=0}上的最大值与最小值.把y=0代入f(x,y)的表达式可得f(x,0)=x2,不难得出在Г1上f(x,y)的最小值为f(0,0)=0,最大值为f(一2,0)=f(2,0)=4. 最后求f(x,y)在D的边界Г2={(x,y)|x2+4y2=4,y≥0}上的最大值与最小值.把[*]代入f(x,y)的表达式可得一元函数 [*] 令[*]可得f(x,y)在,Г2内共有三个驻点(0,1),[*]函数f(x,y)在这三个驻点处的函数值分别是 [*] 又因f(x,y)在Г2的端点(一2,0)与(2,0)处的函数值为f(一2,0)=f(x,0)=4.比较即知f(x,y)在Г2上的最大值为f(0,1)=8,最小值为[*] 比较以上各值可知f(x,y)在D上的最大值为f(0,1)=8,最小值为f(0,0)=0.

解析
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