2. 考研
  3. 设A是n阶正交矩阵，λ是A的实特征值，α是相应的特征向量．证明λ只能是±1，并且α也是AT的特征向量．

设A是n阶正交矩阵，λ是A的实特征值，α是相应的特征向量．证明λ只能是±1，并且α也是AT的特征向量．

admin2016-10-20  29
问题 设A是n阶正交矩阵，λ是A的实特征值，α是相应的特征向量．证明λ只能是±1，并且α也是AT的特征向量．
选项
答案按特征值定义，对于Aα=λα，经转置得 αTAT=(Aα)T=(Aα)T=λαT， 因为ATA=E，从而 αTα=αTATAα=(λαT)(λα)=λ2αTα， 则 (1-λ2)αTα=0． 因为α是实特征向量，αTα=x12+x22+…+xn2＞0，可知λ2=1，由于λ是实数，故只能是1或-1． 若λ=1，从Aα=α，两边左乘AT，得到ATα=ATAα=α，即α是AT关于λ=1的特征向量．
解析
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考研数学三

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