2. 考研
  3. 设f(u，v)具有连续偏导数，且fu(u，v)+fv(u，v)=sin(u+v)eu+v，求y(x)=e—2xf(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。

设f(u，v)具有连续偏导数，且fu(u，v)+fv(u，v)=sin(u+v)eu+v，求y(x)=e—2xf(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。

admin2019-07-19  22
问题 设f(u，v)具有连续偏导数，且fu(u，v)+fv(u，v)=sin(u+v)eu+v，求y(x)=e—2xf(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。
选项
答案由y(x)=e—2xf(x，x)，有 y′(x)= —2e—2xf(x，x)+e—2x[f′1(x，x)+f′2(x，x)]， 由fu(u，v)+fv(u，v)=sin(u+v)eu+r可得 f′1(x，x)+f′2(x，x)=(sin2x)e2x。 于是y(x)满足一阶线性微分方程y′(x)+2y(x)=sin2x，通解为 y(x)=e—2x[∫sin2x.e2xdx+C]， 由分部积分公式，可得 ∫sin2x.e2xdx=[*](sin2x—cos2x)e2x， 所以 y(x)=[*](sin2x—cos2x)+Ce—2x，其中C为任意常数。
解析
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考研数学一

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