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  3. 设f(x)=nx(1－x)n(n=1，2，…)，Mn是f(x)在[0，1]上的最大值，求极限

设f(x)=nx(1－x)n(n=1，2，…)，Mn是f(x)在[0，1]上的最大值，求极限

admin2017-05-31  38
问题 设f(x)=nx(1－x)n(n=1，2，…)，Mn是f(x)在[0，1]上的最大值，求极限
选项
答案f’(x)=n(1一x)n一n2x(1一x)n－1． 令 f’(x)=0，得n2x(1一x)n－1=n(1一x)n，即nx=1一x．于是得驻点[*]又[*]为f(x)在(0,1)内的极大值． 比较f(0)=0，f(1)=0和Mn可知，f(x)在[0，1]上的最大值为Mn= [*]
解析 先求f(x)在[0，1]上的最大值Mn，再求极限．
本题的极限是“1∞”型未定式，其一般形式为limf(x)g(x)，其中limf(x)=1，limg(x)=∞．为求极限，也可先将幂指函数f(x)g(x)化为指数型复合函数eg(x)lnf(x)，利用等价无穷小量替换定理： lnf(x)=ln[1+(f(x)－1)]～f(x)－1，可得： limf(x)g(x)=elimg(x)lnf(x)=elimg(x)[f(x)－1]．于是，将求幂指函数的极限limf(x)g(x)转化为求积函数的极限limg(x)[f(x)－1]．
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