[2004年] 设n阶矩阵A= (I)求A的特征值和特征向量;(Ⅱ)求可逆矩阵P,使P-1AP为对角矩阵.

admin2019-05-10  31

问题 [2004年]  设n阶矩阵A=
(I)求A的特征值和特征向量;(Ⅱ)求可逆矩阵P,使P-1AP为对角矩阵.

选项

答案利用现有结论可求得A的特征值和部分特征向量.求出A的全部特征向量后排成可逆矩阵P,即为所求.求解时需对b进行讨论. (I)解一 根据A的结构特点:主对角线上的元素全为a=1,非零对角线上的元素全为b,由命题2.5.1.7即得到A的特征值为λ1=1+(n-1)b,λ23=…=λn=1-b. (Ⅱ)(1)当b≠0时,A有n个线性无关的特征向量α1,α2,…,αn.令P=[α1,α2,…,αn],则 P-1AP—A=diag(1+(n一1)b,1一b,…,1一b). (2)当b=0时,因A=E,则对任意可逆矩阵P,均有P-1AP=E.

解析
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