(2004年试题，三(9))设矩阵的特征方程有一个二重根，求口的值，并讨论A是否可相似对角化．

admin2013-12-18 55

问题 (2004年试题，三(9))设矩阵

的特征方程有一个二重根，求口的值，并讨论A是否可相似对角化．

选项

答案由题设，[*]．则｜A—λE｜=0，即[*]，可得出(λ一2)(λ²一8λ+18+3a)=0若A=2是特征方程的二重根，则2²一8×2+18+3a=0，解之得a=一2，此时λ₁=λ₂=2，λ₃=6，且[*]显然r(A一2层)=1，所以对应特征值2有两个线性无关的特征向量，因此A可相似对角化；若λ=2不是特征方程的二重根，则λ²一8λ+18+3a=0有二重根，即64—4(18+3a)=0，解之得a=一2／3．此时λ₁=2，λ₂=λ₃=4，且[*]显然r(A一4E)=2，所以对应于特征值4只有一个线性无关的特征向量，所以A不可相似对角化．

解析如果A～A，且λ₀是k重特征值，则A₀应有k个线性无关的特征向量，即齐次方程组(λ₀E—A)x=0的基础解系，应含n—r(λE—A)=k个向量，故可通过秩r(λ₀E—A)来判定A是否能对角化．

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考研数学二

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