2. 考研
  3. 设函数y(x)在(-∞，+∞)内有二阶导数，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数。 (Ⅰ)试将x=x(y)所满足的方程变换成y=y(x)所满足的微分方程； (Ⅱ)求解变换后的微分方程的通解。

设函数y(x)在(-∞，+∞)内有二阶导数，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数。 (Ⅰ)试将x=x(y)所满足的方程变换成y=y(x)所满足的微分方程； (Ⅱ)求解变换后的微分方程的通解。

admin2018-11-16  59
问题 设函数y(x)在(-∞，+∞)内有二阶导数，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数。
(Ⅰ)试将x=x(y)所满足的方程变换成y=y(x)所满足的微分方程；
(Ⅱ)求解变换后的微分方程的通解。
选项
答案本题主要利用反函数求导和复合函数求导公式推导出[*]之间的联系，再代入方程使之简化，从而将非常数系数方程化为常系数线性微分方程再求解。 (Ⅰ)由反函数求导公式[*]，即[*]，再对x求导，有[*]，从而有[*]代入原方程[*]即y’’-y=sinx。 (Ⅱ)y’’-y=sinx对应齐次方程y’’-y=0的特征根为r=±1，因此对应齐次方程通解为[*]=c1ex+c2e-x。 在y’’-y=sinx中，由于r=i不是相应齐次方程的特征根，因此它有形如y=Acosx+Bsinx的特解，将其代入y’’-y=sinx中，可得A=0，B=[*]，因而方程y’’-y=sinx有特解y*=[*]，故方程y’’-y=sinx的通解为y=c1ex+c2e-x-[*]。
解析
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考研数学三

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