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设X1,X2,…,Xn是来自总体X的简单随机样本,已知总体X服从参数为λ(λ>0)的指数分布. (Ⅰ)试求总体X的数学期望E(X)的矩估计量和最大似然估计量; (Ⅱ)检验所得估计是否为无偏估计.
设X1,X2,…,Xn是来自总体X的简单随机样本,已知总体X服从参数为λ(λ>0)的指数分布. (Ⅰ)试求总体X的数学期望E(X)的矩估计量和最大似然估计量; (Ⅱ)检验所得估计是否为无偏估计.
admin
2018-11-23
27
问题
设X
1
,X
2
,…,X
n
是来自总体X的简单随机样本,已知总体X服从参数为λ(λ>0)的指数分布.
(Ⅰ)试求总体X的数学期望E(X)的矩估计量和最大似然估计量;
(Ⅱ)检验所得估计是否为无偏估计.
选项
答案
(Ⅰ)由题设知,总体X的概率密度为 [*] 而E(X)=[*],现要对[*]进行矩估计和最大似然估计. 首先求矩估计量[*]:只有一个参数,用总体矩等于样本矩来解.总体一阶矩为E(X),样本一阶矩为[*],令E(X)=[*],则E(X)的矩估计量[*] 再求最大似然估计量[*]:似然函数为 [*] 由[*]=0,解得λ=[*],则[*],可以验证[*]是最大似然估计. 根据最大似然估计的不变性可知,E(X)的最大似然估计量[*] 由上可知[*] (Ⅱ)由于[*], 故[*]均是E(X)的无偏估计量.
解析
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考研数学一
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