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设3阶方阵A的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=3,对应的特征向量p1=(1,1,1)T,p2=(1,2,4)T,p3=(1,3,9)T.又向量β=(1,1,3)T,求Anβ.
设3阶方阵A的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=3,对应的特征向量p1=(1,1,1)T,p2=(1,2,4)T,p3=(1,3,9)T.又向量β=(1,1,3)T,求Anβ.
admin
2020-06-05
4
问题
设3阶方阵A的特征值λ
1
=1,λ
2
=2,λ
3
=3,对应的特征向量p
1
=(1,1,1)
T
,p
2
=(1,2,4)
T
,p
3
=(1,3,9)
T
.又向量β=(1,1,3)
T
,求A
n
β.
选项
答案
方法一 将向量β用向量组p
1
,p
2
,p
3
线性表示,再根据特征向量的定义求解. 因为p
1
,p
2
,p
3
是A的对应于不同特征值的特征向量,所以向量组p
1
,p
2
,p
3
线性无关,向量β必可由向量组p
1
,p
2
,p
3
唯一线性表示.又 (p
1
,p
2
,p
3
,β)[*] 于是 β=2p
1
-2p
2
+p
3
用A左乘上式两边,并由p
i
是A的对应于特征值λ
i
特征向量(i=1,2,3),因而有 Aβ=2Ap
1
-2Ap
2
+Ap
3
=2λ
1
p
1
-2λ
2
p
2
+λ
3
p
3
A
2
β=A(Aβ)=A(2λ
1
p
1
-2λ
2
p
2
+λ
3
p
3
)=2λ
1
Ap
1
-2λ
2
Ap
2
+λ
3
Ap
3
=2λ
1
2
p
1
-2λ
2
2
p
2
+λ
2
2
p
3
以此类推,可得 A
n
β=2λ
1
n
p
1
-2λ
2
n
p
2
+
3
λ
n
p
3
=2p
1
-2
n+1
p
2
+3
n
p
3
=[*] 方法二 利用矩阵A的相似对角阵,求矩阵A的高次幂. 因为矩阵A有3个相异的特征值,所以A必可对角化,记矩阵P=(p
1
,p
2
,p
3
),则P可逆,且P
﹣1
AP=diag(1,2,3)=[*],即A=P[*]P
﹣1
.于是A
n
=P[*]
n
P
﹣1
,从而A
n
β=P[*]
n
P
﹣1
β. 先利用初等行变换求出P
﹣1
β.由 [*] 得P
﹣1
β=(2,﹣2,1)
T
,于是 A
n
β=[*]
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/Cl9RFFFM
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考研数学一
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