设α1,α2,…,αs为线性方程组AX=0的一个基础解系. β1=t1α1+t2α2, β2=t1α2+t2α3, …, βs=t1αs+t2α1, 其中t1,t2为实常数,试问t1,t2满足什么关系时,β1,β2,…,βs也为AX=0的

admin2019-05-08  26

问题 设α1,α2,…,αs为线性方程组AX=0的一个基础解系.
      β1=t1α1+t2α2,  β2=t1α2+t2α3,  …,  βs=t1αs+t2α1
其中t1,t2为实常数,试问t1,t2满足什么关系时,β1,β2,…,βs也为AX=0的一个基础解系.

选项

答案由α1,α2,…,αs为AX=0的基础解系知,s=n-秩(A),因β1,β2,…,βs均为α1,α2,…,αs的线性组合,而α1,α2,…,αs又为AX=0的解,根据齐次方程解的性质知,βi(i=1,2,…,s)为AX=0的解.下面证β1,β2,…,βs线性无关,给出两种证法. 证一 设k1β1+k2β2+…+ksβs=0,即 (t1k1+t2ks1+(t2k1+t1k22+(t2k2+t1k33+…+(t2ks-1+tskss=0. 由于α1,α2,…,αs线性无关,于是得 [*] 因方程组①的系数矩阵的行列式为 [*] 故当t1s+(-1)s+1t2s≠0时,方程组①只有零解,即k1=k2=…=ks=0,从而β1,β2,…,βs线性无关,即当s为偶数且t1≠±t2,或s为奇数且t1≠-t2时,β1,β2,…,βs线性无关,从而β1,β2,…,βs也为AX=0的一个基础解系. 证二 由命题2.3.2.4(6)知,当s为偶数且t1≠±t2或s为奇数且t1≠-t2时,β1,β2,…,βs线性无关,从而β1,β2,…,βs也为AX=0的一个基础解系.

解析
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